Dirichlet et qui nous permettrait d’aborder de plus près cette question : Chaque problème régulier du Calcul des variations ne possède-t-il pas une solution, pourvu que certaines hypothèses soient vérifiées, relativement aux conditions limitatives données, relativement, par exemple, à la continuité et à la possibilité de différentier, plus ou moins de fois successives, les fonctions dont il s’agit, et pourvu nécessairement aussi que la notion de solution soit convenablement généralisée[1] ?
XXI. — Démonstration de l’existence d’équations différentielles linéaires ayant un groupe de monodromie assigné.
Dans la Théorie des équations différentielles linéaires à une variable indépendante , j’attirerai l’attention sur un très important problème, que Riemann d’ailleurs avait déjà en vue, et qui consiste à démontrer qu’il existe toujours une équation différentielle linéaire de la classe de M. Fuchs ayant des points critiques donnés et un groupe de monodromie donné. Ce problème exige donc que l’on trouve fonctions de la variable qui se comportent partout régulièrement dans le plan de la variable complexe , sauf en certains points critiques donnés : en ces points l’ordre d’infinitude des fonctions doit être fini, et lorsque la variable décrit un contour autour de ces points, les fonctions doivent éprouver les substitutions linéaires données. L’existence de pareilles équations différentielles est rendue très probable au moyen d’un dénombrement de constantes, mais jusqu’ici l’on n’est parvenu à une démonstration rigoureuse que dans le cas particulier où les racines des équations fondamentales des substitutions données ont l’unité pour valeur absolue. M. L. Schlesinger[2] a établi cette démonstration en s’appuyant sur la théorie des fonctions zeta-fuchsiennes de M. Poincaré. Il est clair
