Je remarquerai encore qu’il existe, par exemple, des surfaces à courbure gaussienne constante négative qui sont représentées par des fonctions continues et susceptibles de différentiation successive, mais non analytiques, tandis qu’il est au contraire probable que toute surface à courbure gaussienne constante positive est nécessairement une surface analytique[1]. On sait bien, d’ailleurs, que les surfaces à courbure constante positive sont intimement liées à ce problème régulier du Calcul des variations : faire passer par une courbe gauche fermée une surface dont l’aire soit un minimum, cette surface étant assujettie à la condition de renfermer avec une surface fixe un volume donné, la surface fixe elle-même devant passer par la courbe gauche donnée.
XX. — Problème de Dirichlet dans le cas général.
Un important problème, intimement lié au précédent, est celui de l’existence des solutions d’équations aux dérivées partielles devant prendre des valeurs assignées le long de contours donnés. Les méthodes si perspicaces de MM. H.-A. Schwarz, C. Neumann et Poincaré ont résolu ce problème, dans le cas de l’équation de Laplace, quant aux points les plus essentiels, mais en général ces méthodes ne semblent pas susceptibles d’être étendues au cas où sont encore assignées, le long du contour, les valeurs des dérivées ou encore des relations entre ces dernières et la fonction, ou bien lorsqu’il ne s’agit plus de surfaces potentielles, mais, par exemple, de surface minima ou de surfaces à courbure gaussienne constante positive, assujetties à passer par une courbe gauche assignée ou à toucher une surface annulaire le long d’une courbe fermée. Je suis persuadé que l’on parviendrait à effectuer ces démonstrations en se basant sur une idée mère générale à laquelle se rattache le principe de
- ↑ Comparer le Mémoire subséquent de M. Hilbert sur ce sujet : Ueber flächen von constanter Gausschen Krummung (Transactions of the American mathematical Society, Vol. II, no 1, p. 87-99 ; January 1901). (L. L.)
