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Théorie des nombres et peut-être utile aussi en Physique et en Chimie : c’est la question de savoir comment on pourrait, avec la plus grande densité possible, remplir l’espace au moyen d’un nombre infini de corps de même forme assignée d’avance, par exemple au moyen de sphères d’un rayon donné ou de tétraèdres d’arêtes données (on pourrait aussi assigner d’avance la position des arêtes) ; autrement dit, on demande de répartir ces corps dans l’espace de façon que le rapport de l’espace rempli à l’espace vide soit le plus grand possible.

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Si nous jetons un coup d’œil sur le développement de la théorie des fonctions pendant le xix^e siècle, nous remarquons avant tout le rôle fondamental joué par cette classe de fonctions que l’on nomme aujourd’hui fonctions analytiques, classe de fonctions qui resteront toujours le point central de l’intérêt mathématique.

Il serait facile de distribuer toutes les fonctions concevables dignes d’intérêt en classes formées à des points de vue divers. Considérons, par exemple, la classe des fonctions susceptibles d’être définies au moyen d’équations différentielles algébriques ordinaires ou au moyen d’équations de même nature aux dérivées partielles. On remarque immédiatement que cette classe de fonctions ne renferme pas des fonctions qui proviennent de la théorie des nombres, fonctions dont l’étude est pour nous de l’intérêt le plus élevé. Par exemple, la fonction ${\zeta (s)}$, dont on a déjà parlé, ne vérifie aucune équation différentielle algébrique, comme c’est facile à reconnaître au moyen de la relation connue entre ${\zeta (s)}$ et ${\zeta (1-s)}$ et en invoquant le théorème où M. Hölder^[1] démontre que la fonction ${\Gamma (x)}$ ne vérifie aucune équation différentielle algébrique. Il est aussi très vraisemblable que la fonction des deux variables $s$ et $x$, définie par la série

$\zeta (s,x)=x+{\frac {x^{2}}{2^{s}}}+{\frac {x^{3}}{3^{s}}}+{\frac {x^{4}}{4^{s}}}+\ldots$

1. Math. Annalen, t. XXVIII.