qui, après l’opération des substitutions (S), deviendront des fonctions entières en . Une telle fonction rationnelle de qui, après que l’on aura effectué les substitutions (S), sera devenue une fonction entière en , je la nommerai une fonction relativement entière de . Il est évident que toute fonction entière de est aussi relativement entière ; enfin, la somme, la différence et le produit de fonctions relativement entières sont également des fonctions relativement entières.
Le problème qui se présente alors est celui-ci : Est-il toujours possible de trouver un système fini de fonctions relativement entières de avec lesquelles on puisse composer d’une manière rationnelle entière toute autre fonction relativement entière de ? On peut formuler le problème encore plus simplement, si l’on introduit la notion de domaine fini d’intégrité.
Par domaine fini d’intégrité, j’entends un système de fonctions tel que l’on puisse toujours y choisir un nombre fini de fonctions à l’aide desquelles toutes les autres fonctions du système soient exprimables d’une manière rationnelle entière. Notre problème revient donc à démontrer que toutes les fonctions relativement entières d’un domaine quelconque de rationalité forment toujours un domaine fini d’intégrité.
Nous sommes enfin conduits à rendre le problème encore plus précis en le faisant rentrer dans la pure théorie des nombres ; on regardera, dans ce cas, les coefficients des fonctions données comme étant des nombres entiers rationnels et, par fonctions relativement entières de , on entendra seulement des fonctions rationnelles de ces arguments, telles que, après l’opération des substitutions (S), elles deviennent des fonctions rationnelles entières de à coefficients rationnels entiers.
Un cas particulièrement simple du problème ainsi précisé est celui-ci : Soient , fonctions rationnelles entières à coefficients rationnels entiers de l’unique variable , et soit un
