suite l’analogie entre la notion du genre d’une surface de Riemann et la notion du nombre des classes d’un corps de nombres saute aux yeux. Pour ne parler que du cas le plus simple, considérons, d’une part, une surface de Riemann de genre , et, d’autre part, un corps de nombres où le nombre des classes est ; alors à la démonstration de l’existence d’une intégrale partout finie sur la surface de Riemann correspond la démonstration de l’existence d’un nombre entier dans le corps de nombres tel que le nombre représente un corps non ramifié relativement quadratique par rapport au corps de base. Dans la Théorie des fonctions algébriques on sait que, pour démontrer ce théorème d’existence riemannien, on emploie la méthode du problème de Dirichlet ; de même, dans la Théorie des corps de nombres, c’est la démonstration de l’existence du nombre qui présente aussi la difficulté principale. La démonstration s’appuie essentiellement sur le théorème que dans un corps de nombres il existe toujours des idéaux premiers possédant des caractères résiduels assignés. Ce dernier fait joue par suite, dans la Théorie des nombres, un rôle analogue à celui que joue le problème de Dirichlet dans la Théorie des fonctions.
Dans la Théorie des fonctions l’équation du théorème d’Abel énonce, comme on sait, la condition nécessaire et suffisante pour que les points en question de la surface de Riemann soient les zéros d’une fonction algébrique appartenant à la surface. L’analogue précis du théorème d’Abel, dans la Théorie des corps de nombres, où le nombre des classes est , est l’équation de la loi de réciprocité quadratique[1]
qui nous dit que l’idéal sera un idéal principal du corps de nombres, au seul et unique cas où le nombre possède par rapport à l’idéal un caractère résiduel quadratique positif.
Nous voyons que, dans les problèmes que nous venons d’exami-
- ↑ Comparer Hilbert, Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Zählkörper (Göttinger Nachrichten ; 1898).
