lier, en sorte qu’ici les fonctions elliptiques jouent le rôle occupé, dans le cas précédent, par la fonction exponentielle. La démonstration de cette affirmation de Kronecker n’a pas encore été effectuée ; je crois que l’on peut y arriver, sans rencontrer de difficultés insurmontables, en s’appuyant sur la théorie de la multiplication complexe développée par M. Weber[1], en même temps que sur les théorèmes purement arithmétiques que j’ai établis sur les classes de corps.
Enfin, ce qui me semble d’une importance capitale, c’est l’extension du théorème de Kronecker au cas où, au lieu du domaine des nombres rationnels ou bien des nombres du corps imaginaire quadratique, on prend, comme domaine de rationalité, un corps de nombres algébriques quelconques.
Je regarde ce problème comme un des plus profonds et des plus importants de toute la théorie des nombres et des fonctions.
Ce problème paraît abordable d’une foule de côtés. La clef la plus capable de nous ouvrir la voie à la solution de la partie arithmétique du problème est, selon moi, la loi générale de réciprocité des résidus de puissances ièmes dans un corps de nombres quelconque assigné.
Quant à la partie du problème qui est relative à la Théorie des fonctions, le chercheur se laissera conduire dans ce domaine si attrayant par les remarquables analogies que l’on observe entre la Théorie des fonctions algébriques d’une variable et celle des nombres algébriques. L’analogue du développement en série de puissances d’une fonction algébrique, dans la Théorie des nombres, a été établi et étudié par M. Hensel[2] ; quant à l’analogue du théorème de Riemann-Roch, il a été traité par M. Landsberg[3]. En-
