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donner une réponse rigoureuse au problème de Goldbach^[1] où l’on se demande si tout nombre pair est représentable par une somme de deux nombres premiers ; vient ensuite cette question connue : Y a-t-il une infinité de couples de nombres premiers ayant comme différence le nombre 2 ? Et ce problème plus général : L’équation linéaire de Diophante

$ax+by+c=0$,

où les coefficients $a,b,c$ sont des nombres entiers donnés dont deux sont premiers entre eux, est-elle toujours résoluble en nombres entiers premiers $x,y$ ?

Mais un problème d’intérêt non moindre et qui me semble peut-être d’une importance encore plus considérable est le suivant : Transporter les résultats obtenus pour la distribution des nombres premiers rationnels à la théorie de la distribution des idéaux premiers d’un corps de nombres donné $k$. C’est là un problème qui revient à l’étude de la fonction

$\zeta _{k}(s)=\sum {\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}$,

relative au corps $k$, et où la somme doit être étendue à tous les idéaux ${\mathfrak {j}}$ du corps de nombres donné $k$, et où ${n({\mathfrak {j}})}$ désigne la norme de l’idéal ${\mathfrak {j}}$.

Je citerai encore trois problèmes particuliers de la Théorie des nombres, à savoir un problème sur les lois de réciprocité, un autre sur les équations de Diophante, enfin le dernier appartenant au domaine des formes quadratiques.

IX. — Démonstration de la loi de réciprocité la plus générale dans un corps de nombres quelconque.

On demande de démontrer dans le cas d’un corps de nombres quelconque la loi de réciprocité des résidus de puissances de

1. Comparer M. P. Stäckel, Ueber Goldbach’s empirisches Theorem (Göttinger Nachrichten ; 1896), et M. Landau, loc. cit. ; 1900.