Nous avons vu aux § 25 et 26, en invoquant le théorème de Desargues, que dans ce calcul segmentaire les règles de calcul 7-11 du § 13 sont également vérifiées ; par suite, toutes les régies de calcul ont lieu, abstraction faite de la loi commutative de la multiplication.
Enfin, pour rendre possible une distribution des segments, nous adopterons la convention suivante : Soient A, B deux points quelconques non coïncidents de la droite OB. Supposons que les quatre points O, E, A, B se suivent, conformément à l’axiome II,4 dans un certain ordre. Si c’est dans l’un des six ordres suivants :
nous dirons que le segment a = OA est plus petit que le segment b = OB, ce que l’on écrit ainsi
Si c’est, au contraire, l’un des six ordres suivants
qui a lieu, nous dirons que le segment a = OA est plus grand que le segment b = OB, ce qui s’écrit ainsi
Cette convention subsiste lorsque A ou B coïncident avec 0 ou E ; seulement l’on doit alors regarder les points coïncidents comme un point unique, et, par suite, il n’est plus question que de la distribution de trois points.
Nous voyons maintenant sans peine que dans notre calcul segmentaire, conformément à l’axiome II, les règles de calcul 13-16 du § 13 sont vérifiées ; par conséquent, l’ensemble de tous les différents segments forme un système numérique complexe où sont vérifiées les lois 1-11, 13-16 du § 13, c’est-à-dire toutes les règles usuelles, hormis la loi commutative de la multiplication et la théorème d'Archimède. Dans ce qui suit nous désignerons, pour abréger, un pareil système numérique sous le nom de système numérique de Desargues.
