découpe sur l’axe X positif un segment
La valeur maxima de cette expression a lieu pour et sera ainsi égal à . Le point sur l’axe X que nous avons précédemment désigné par F ayant pour abscisse il s’ensuit que parmi les cercles rencontrant l'ellipse en quatre points, il n'est aucun qui passe par le point F.
Nous allons maintenant concevoir une nouvelle Géométrie plane de la manière suivante : Comme points de la nouvelle Géométrie prenons les points du plan XY (fig. 36) ; comme droites de cette nouvelle
Géométrie, prenons d’abord, sans y rien changer, les droites du
plan XY qui sont tangentes à l’ellipse fixe ou qui ne la rencontrent
pas ; mais, au contraire, si g désigne une droite du plan XY, qui rencontre l’ellipse en deux points P et Q, nous construirons le cercle passant par P, Q et par le point fixe F. Ce cercle, d’après ce qui a été déjà démontré, n’a aucun autre point en commun avec l’ellipse. Supposons maintenant que l’on ait remplacé la portion de la droite g intérieure à l’ellipse et joignant P et Q par l’arc PQ du cercle déjà construit, intérieur à l’ellipse. Le chemin formé par les deux portions de la droite issus de P et Q et s’étendant indéfiniment, et par l’arc de cercle PQ, nous le prendrons comme droite de la nouvelle Géométrie. Supposons alors que, pour toutes les droites du plan XY, on ait
