en invoquant le théorème XXIV, que deux polygones qui ont même mesure d’aire sont toujours égaux par soustraction. Nous réunirons les
deux propositions trouvées dans ce paragraphe et le précèdent en un théorème unique ; ainsi :
Théorème XXX. — Deux polygones égaux par soustraction ont toujours la même mesure d’aire ; et réciproquement : Deux polygones ayant la même mesure d’aire sont toujours égaux par soustraction.
En particulier deux rectangles qui sont égaux par soustraction et qui ont un côté en commun doivent nécessairement avoir leurs autres côtés congruents.
Théorème XXXI. — Si l’on décompose un rectangle par des droites en plusieurs triangles, et si l’on enlève un de ces triangles, on ne pourra plus remplir le rectangle avec les triangles qui restent.
Ce théorème a été mis par M. O. Stolz[1] au rang des axiomes. Dans ce qui précède on a fait voir que ce théorème s’était d’une manière tout à fait indépendante de l’axiome d’Archimède. D’ailleurs, quand on fait abstraction de l’axiome d’Archimède, le théorème XXXI ne suffit pas à lui seul pour démontrer le théorème d’Euclide de l’égalité des hauteurs dans les triangles égaux par soustraction qui ont même base (théorème XXVIII).
Dans la démonstration des théorèmes XXVIII, XXIX, XXX, nous avons essentiellement employé le calcul segmentaire introduit dans le Chapitre III, § 15, et comme ce calcul repose essentiellement sur le théorème de Pascal (théorème XXI), ce théorème est certainement la clef de voûte de la théorie des aires. Nous reconnaissons aussi
- ↑ Monatshefte für Math. und Phys., Jahrgang 5, 1894.
