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usage de l’axiome d’Archimède. Si nous le supposons vérifié ici, nous pouvons alors, aux points d’une droite quelconque dans l’espace, faire correspondre des nombres réels, et cela de la manière suivante :

Choisissons sur la droite deux points quelconques, et attribuons à ces points les nombres $0$ et $1$. Partageons ensuite en deux parties égales le segment $01$ qu’ils déterminent et désignons-en le milieu par ${\tfrac {1}{2}}$, puis le milieu du segment $0{\tfrac {1}{2}}$ par ${\tfrac {1}{4}}$, et ainsi de suite ; après avoir répété n fois cette opération, nous obtiendrons un point auquel il faudra attribuer le nombre ${\tfrac {1}{2^{n}}}$. Sur la droite en question portons alors successivement, à partir du point $0$ et de part et d’autre de ce point, le segment $0{\tfrac {1}{2^{n}}}$, m fois par exemple ; aux points ainsi obtenus attribuons les nombres respectifs ${\tfrac {m}{2^{n}}}$ et $-{\tfrac {m}{2^{n}}}$.

De l’axiome d’Archimède on conclut alors aisément que, en vertu de la coordination ainsi opérée, à tout point de la droite on peut faire correspondre d’une manière univoque déterminée un nombre réel, et cela de telle sorte que cette coordination jouisse de la propriété suivante : A, B, C désignant trois points quelconques de la droite auxquels correspondent les nombres respectifs α, β, γ, et B étant situé entre A et C, ces nombres α, β, γ vérifieront toujours ou bien l’inégalité α < β < γ, ou bien l’inégalité α > β > γ.

Des développements du Chapitre III, § 9, résulte clairement qu’ici, pour tout nombre appartenant au corps algébrique $\Omega$, il doit exister un point correspondant sur la droite ; mais reconnaître si à tout autre nombre réel correspond de même un point de la droite, c’est ce qu’on ne peut faire d’une manière générale, cette question dépendant de la Géométrie à laquelle on a affaire.

Au contraire, il est toujours possible de généraliser le système primitif des points, droites et plans au moyen d’éléments « idéaux » ou « irrationnels » d’une manière telle que, sur une droite quelconque de la Géométrie ainsi construite, à chaque système de trois nombres réels corresponde sans exception un point. Au moyen d’une convention convenable, on peut également faire que, dans la Géométrie ainsi généralisée, les axiomes I-V soient tous vérifiés. Cette Géomé-