Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/44

et à n formeront avec les mêmes droites OA, OA’ des angles aigus que nous désignerons respectivement par μ', μ et ν', ν. Maintenant, si nous exprimons ces trois perpendiculaires, ainsi qu’il a été précédemment indiqué, au moyen des hypoténuses et des angles adjacents à celles-ci dans les triangles rectangles qui leur correspondent, ce qu’il est

possible de faire de deux manières, nous obtiendrons les trois congruences segmentaires

(1)	$\lambda b'\equiv \lambda 'c,$	(1)
(2)	$\mu a'\equiv \mu 'c,$	(2)
(3)	$\nu a'\equiv \nu 'b.$	(3)

Maintenant l, par hypothèse, devant être parallèle à l', et m devant l’être de même à m*, les perpendiculaires abaissées du point O sur l’ et m* devront respectivement coïncider avec les perpendiculaires abaissées de ce point sur l et m ; et l’on aura, par suite,

(4)	$\lambda c'\equiv \lambda 'b,$	(4)
(5)	$\mu c'\equiv \mu 'a.$	(5)

Cela posé, si nous multiplions symboliquement chacun des deux membres de la congruence (3) par le symbole λ'μ, en nous souvenant que, d’après ce qui a été déjà établi, les symboles dont il s’agit sont échangeables, nous trouverons

$\nu \lambda '\mu a'\equiv \nu '\mu \lambda 'b$

Dans le premier membre de cette congruence ayons égard à la valeur donnée par (2) pour μa' et dans le second membre à la valeur donnée par (4) pour λ'b ; il viendra

$\nu \lambda '\mu 'c\equiv \nu '\mu \lambda c'$