La première affirmation de l’énoncé de l’axiome des parallèles peut être démontrée au moyen des axiomes des groupes I, II, IV. À cet effet, joignons le point A donné à un point quelconque B de la droite a. Soit ensuite C un autre point quelconque de cette droite. Par le point A menons dans le plan α et du cote de la droite AB, où n’est pas situé le point C, une droite formant avec AD un angle congruent à . Je dis que cette ligne passant par A ne coupera pas la droite a. En effet, supposons qu’elle coupe cette droite a au point D et supposons que B soit situé entre D et C, nous pourrions alors trouver sur a un point D' tel que B fût situé entre D et D' et qu’on eût en outre
De la congruence des triangles ABD et BAD' résulterait la congruence
et comme les angles ABD' et ABD sont supplémentaires, l’on voit, en se reportant au théorème XII, que les angles BAD, BAD' devraient
l’être aussi ; or en vertu du théorème I il ne peut en être ainsi.
La deuxième affirmation renfermée dans l’axiome des parallèles III est indépendante des autres axiomes ; on le démontre de la manière connue et le plus simplement comme il suit : On choisira, comme éléments individuels d’une Géométrie de l’espace, les points, droites et plans de la Géométrie ordinaire construite au § 9, en ne considérant que ce qui est renfermé dans une sphère fixe ; on définira alors les congruences de cette Géométrie au moyen des transformations linéaires de la Géométrie ordinaire qui transforment en elle-même la sphère fixe.
En faisant des conventions convenables, on reconnait que, dans cette « Géométrie non euclidienne », tous les axiomes sont vérifiés hormis l’axiome euclidien III ; et comme la possibilité de la Géométrie ordinaire a été démontrée au § 9, celle de la Géométrie non euclidienne en résulte immédiatement.
