Le théorème le plus général relatif à la congruence pour le plan et pour l’espace s’exprime comme il suit :
Théorème XVII — Lorsque (A, B, C,…) et (A’, B’, C’,…) sont des figures planes congruentes, si l’on désigne par P un point dans le plan de la première figure, on pourra toujours déterminer dans le plan de la seconde figure un point P’, tel que (A, B, C,…, P) et (A’, B’, C’,…, P’, ) soient également des figures congruentes.
Si la figure (A, B, C,...) contient au moins trois points qui ne soient pas en ligne droite, la détermination de P’ ne sera possible que d’une seule et unique manière.
Théorème XVIII. — Lorsque (A, B, C,…) et (A’, B’, C’,…) sont des figures congruentes, si l’on désigne par P un point quelconque, on pourra toujours déterminer un point P’, tel que les figures (A, B, C,…, P) et (A’, B’, C’,…, P’) soient également congruentes.
Si la figure (A, B, C,...) renferme au moins quatre points qui ne soient pas situés dans un même plan, la détermination de P’ ne sera possible que d’une seule et unique manière.
Ce théorème renferme un très important résultat : c’est que toutes les vérités spatiales relatives à la congruence, c’est-à-dire aux déplacements dans l'espace, sont exclusivement des conséquences (adjonction faite des groupes I et II d’axiomes) des six axiomes liniéaires et plans de la congruence précédemment énoncés ; par conséquent, l’axiome des parallèles n’est pas nécessaire pour leur établissement.
Si aux axiomes de la congruence nous adjoignons encore l’axiome III, des parallèles, nous arrivons aisément à établir les propositions connues :
Théorème XIX. — Lorsque deux parallèles sont coupées par une troisième droite, les angles alternes-externes, alternes-internes et correspondants sont respectivement congruents ; réciproquement la congruence des angles respectifs portant les désignations ci-dessus a pour conséquence le parallélisme des deux droites en question.
Théorème XX. — Les angles d’un triangle forment ensemble deux angles droits.
