à , nous pouvons, en vertu du théorème XIII, déterminer à l’intérieur de l’angle CAD une demi-droite AD" issue de A et telle que soit congruent à en même temps que le soit aussi à . Maintenant était congruent à ; par suite, il faudrait aussi, en vertu de l’axiome IV, 5, que soit congruent à . Or, cela est impossible, car, d’après l’axiome IV, 4, un angle ne peut être porté dans un plan donné d’un côté donné d’une demi-droite donnée que d’une seule et unique manière. Nous avons donc démontré le théorème XV.
Nous pouvons maintenant introduire de la manière que l’on sait les désignations d’ « angle aigu » et d’ « angle obtus ».
Le théorème relatif à la congruence des angles et adjacents à la base d’un triangle isoscèle ABC résulte immédiatement de l’application de l’axiome IV, 6, au triangle ABC et au triangle BAC.
En adjoignant à ce théorème le théorème XIV, on démontre aisément de la manière connue la proposition suivante :
Théorème XVI. — (Troisième théorème de congruence des triangles) — Dans deux triangles, lorsque les trois côtés sont respectivement congruents entre eux, les triangles sont congruents entre eux.
Convention. — Un nombre quelconque fini de points est dit une figure. Si tous les points de la figure sont situés dans un plan, elle sera dite une figure plane.
Deux figures sont dites congruentes, lorsque l’on peut en faire correspondre les points deux à deux d’une manière telle que les segments et les angles correspondants des deux figures soient respectivement tous congruents entre eux.
Les figures congruentes, comme le font voir les théorèmes XII et IX, jouissent des propriétés suivantes : Trois points d’une figure qui sont en ligne droite sont également en ligne droite dans toute figure congruente à la première. Dans les figures congruentes la distribution des points dans des plans correspondants par rapport à des droites correspondantes est toujours la même. Il en est encore de même de l’ordre de succession des points correspondants sur des droites correspondantes.
