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Une conséquence immédiate du théorème XII est la congruence des angles opposés par le sommet.

Théorème XIII. — Dans le plan $\alpha$, soit un angle (h, k) congruent a l’angle (h', k’) dans un plan α; soit ensuite l une demi-droite du plan α et issue du sommet de l’angle (h, k) et ayant son cours à l’intérieur de

cet angle : il existera toujours alors dans le plan α' une demi-droite l’ issue du sommet de l’angle (h', k’) ayant son cours à l’intérieur de cet angle et telle que l’on ait

$\angle (h,l)\equiv \angle (h',l'){\text{ et }}\angle (k,l)\equiv \angle (k',l')$

Démonstration. — Désignons les sommets respectifs des angles (h,k), (h',k’) par 0 et 0’ et déterminons sur les côtés h, k et h', k’ les points A, B, et A’, B’ tels que l’on ait les congruences

$OA\equiv O'A'{\text{ et }}OB\equiv O'B'$

En vertu de la congruence des triangles OAB et O’A’B’, on aura

$AB\equiv A'B'{\text{ , }}\angle OAB\equiv O'A'B'{\text{ , }}\angle OBA\equiv O'B'A'$

La droite AB coupe l en C ; déterminons alors sur le segment A’B’ le point C’ tel que l’on ait $A'C'\equiv AC$ ; je dis alors que O’C’ est la demi-droite l’ cherchée. En effet, de $AC\equiv A'C'$ et $AB\equiv A'B'$, on peut aisément, au moyen de l’axiome IV, 3, déduire la congruence $BC\equiv B'C'$ ; on voit clairement aussi que les triangles OAC et O’A’C’ sont congruents entre eux, et qu’il en est encore de même des triangles OBC et O'B'C'. On conclut de là les affirmations qu’énonce le théorème XIII.

D’une façon pareille nous obtenons la proposition suivante :

Théorème XIV. — Soient h, k, l d’une part, et h’, k’, l’ d’autre part, trois demi-droites issues respectivement d’un même point et situées dans un même plan.