nous dirons : Les points A, A' sont situés dans l’espace d’un même côté du plan α, et les points A, B sont situés dans l’espace de côtés différents du plan α.
Le théorème VII exprime les vérités les plus importantes relatives à la distribution des éléments dans l’espace. Ces vérités sont donc exclusivement des conséquences des axiomes considérés jusqu’ici, et il n’est donc pas nécessaire d’introduire dans le groupe II aucun nouvel axiome spatial.
§ 5.
Le groupe d’axiomes III : Axiome des parallèles (Postulat d’Euclide).
L’introduction de cet axiome simplifie les principes fondamentaux de la Géométrie dont il facilite ainsi très considérablement l’édification. Nous l’énoncerons ainsi :
III. — Dans un plan α, par un point A pris en dehors d’une droite a, l’on peut toujours mener une droite et une seule qui ne coupe pas la droite a ; cette droite est dite la parallèle à a, menée par le point A.
Cet énoncé de l’axiome des parallèles renferme deux affirmations : la première énonce que dans le plan α il passe toujours par A une droite qui ne rencontre pas a, et la seconde qu’il ne peut en exister qu’une.
C’est la seconde affirmation de notre axiome qui est essentielle ; l’on peut aussi lui donner la tournure suivante :
Théorème VIII. — Lorsque dans un plan deux droites a, b ne rencontrent pas une troisième droite c du même plan, elles ne se rencontrent pas non plus.
En effet, si a et b avaient un point A en commun, il pourrait dans ce plan exister deux droites a, b, passant par A et qui ne rencontreraient point c ; mais cela serait en contradiction avec la seconde affirmation de l’axiome des parallèles, sous notre énoncé primitif. Réciproquement, du théorème VIII résulte également la seconde affirmation de l’axiome des parallèles sous notre énoncé primitif.
L’axiome des parallèles III est un axiome planaire.
