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THÉORIE DE LA RÉFLEXION

De même en égalant les valeurs de ${\frac {d\mathrm {X} }{dz}}$ pour $z=0,$ et supprimant le facteur exponentiel, commun aux deux membres, il vient :

$(\mathrm {A} -\mathrm {B} )c=\mathrm {C} c'.$

Introduisons l’angle d’incidence ou l’angle que fait le plan de l’onde incidente avec le plan des $xy$ (la surface de séparation).

Le plan de l’onde incidente a pour équation :

$by+cz=0$

Les cosinus directeurs de la normale sont :

$0\,;\qquad {\frac {b}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}\,;\qquad {\frac {c}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$

Par conséquent :

$\cos i={\frac {c}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}\qquad \sin i={\frac {b}{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$

Pour l’onde réfractée, il suffit de changer $c$ en $c'$ et en désignant par $r$ l’angle de réfraction que fait le plan de l’onde incidente avec le plan de l’onde réfractée.

$\cos r={\frac {c'}{\sqrt {b^{2}+c'^{2}}}}\qquad \sin r={\frac {b}{\sqrt {b^{2}+c'^{2}}}}$

D'où :

$c'={\frac {\mathrm {tang} \;i}{\mathrm {tang} \;r}}$

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }}&={\frac {c-c'}{c+c'}}={\frac {\mathrm {cotg} \;i-\mathrm {cotg} \;r}{\mathrm {cotg} \;i+\mathrm {cotg} \;r}}\\[1.25ex]&={\frac {\mathrm {tang} \;r-\mathrm {tang} \;i}{\mathrm {tang} \;r+\mathrm {tang} \;i}}={\frac {\sin(r-i)}{\sin(r+i)}}\\\end{aligned}}$