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RÉFLEXION D’UNE ONDE PLANE

$\mathrm {Y} =\mathrm {Z} =0,$ par conséquent ${\frac {d\beta }{dt}}$ se réduit à $-{\frac {d\mathrm {X} }{dz}}$ qui doit être continu. De même ${\frac {d\gamma }{dt}}$ se réduit à ${\frac {d\mathrm {X} }{dy}}$ qui doit être aussi continu. Enfin ${\frac {d\alpha }{dt}}=0.$

Désignons par $\mathrm {X} _{1}$ la valeur de $\mathrm {X}$ dans le premier milieu, prise sur la surface de séparation, par $\mathrm {X} _{2}$ cette valeur dans le second milieu.

Puisque $\mathrm {X}$ est continu, $\mathrm {X} _{1}=\mathrm {X} _{2}$ tout le long de la surface de séparation. On peut donc différencier par rapport à $x$ et à $y$ et écrire

${\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dx}}={\frac {d\mathrm {X} _{2}}{dx}}\qquad \qquad {\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dy}}={\frac {d\mathrm {X} _{2}}{dy}},$

et puisque ${\frac {d\mathrm {X} }{dz}}$ doit être continu,

${\frac {d\mathrm {X} _{1}}{dz}}={\frac {d\mathrm {X} _{2}}{dz}}\cdot$

Égalons les valeurs de $\mathrm {X}$ pour $z=0$ de chaque côté du plan de séparation, il vient :

$\mathrm {X} =\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}(by+cz+pt)}+\mathrm {B} e^{{\sqrt {-1}}(by-cz+pt)}=\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}(b'y+c'z+pt)}$

soit pour $z=0,$ en supprimant le facteur commun $e^{{\sqrt {-1}}pt},$

$(\mathrm {A} +\mathrm {B} )e^{{\sqrt {-1}}by}=\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}b'y}$

Comme cette relation doit avoir lieu identiquement, quel que soit $y,$ il faut que :

$b=b'\qquad \qquad \mathrm {A} +\mathrm {B} =\mathrm {C} .$