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INCIDENCE NORMALE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Dans l’une et l’autre les dérivées ${\frac {d\xi }{dx}},\,{\frac {d\eta }{dy}},\,{\frac {d\zeta }{dz}}$ sont nulles, et par conséquent $\theta =0.$

$\mathrm {W} ={\frac {\mu }{2}}\left(\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}+\beta _{3}^{2}\right).$

Cherchons ce que deviennent $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3}.$

Dans le premier cas :

${\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {d\zeta }{dy}}=-\mathrm {A} c\sin(cy+pt)\\[1ex]\beta _{2}&={\frac {d\zeta }{dx}}=-\mathrm {A} c\sin(cx+pt)\\[1ex]\beta _{3}&=0.\\\end{aligned}}$

Dans le second cas, comme $\zeta =0$ et $\xi$ ne dépend pas de $z,$

${\begin{aligned}\beta _{1}&=0=\beta _{2}\\[1ex]\beta _{3}&=-\mathrm {A} c{\big [}\sin(cy+pt)+\sin(cx+pt){\big ]}.\\\end{aligned}}$

Le premier système de valeurs, correspondant au cas où les deux vibrations sont parallèles à $\mathrm {O} z,$ donne pour le carré de la vitesse :

$\left({\frac {d\zeta }{dt}}\right)^{2}=\mathrm {A} ^{2}p^{2}{\big [}\sin(cx+pt)+\sin(cy+pt){\big ]}^{2},$

et pour l’énergie potentielle

$\mathrm {W} ={\frac {\mu }{2}}\mathrm {A} ^{2}c^{2}{\big [}\sin ^{2}(cx+pt)+\sin ^{2}(cy+pt){\big ]}.$

Les secondes valeurs relatives au cas où les deux vibrations sont rectangulaires entre elles donnent

$\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\zeta }{dt}}\right)^{2}=\mathrm {A} ^{2}p^{2}{\big [}\sin ^{2}(cx+pt)+\sin ^{2}(cy+pt){\big ]}$