Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/61

49

RAYONS FAISANT ENTRE EUX UN TRÈS PETIT ANGLE

Premier cas. — Nous aurons pour la première onde :

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \,\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\[1.25ex]\eta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \,\mathrm {B} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\[1.25ex]\zeta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \,\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\[1.25ex]\mathrm {P} &=ax+by+cz+pt.\\\end{aligned}}$

Pour la deuxième

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \,\mathrm {A} 'e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} '}\\[1.25ex]\eta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \,\mathrm {B} 'e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} '}\\[1.25ex]\zeta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \,\mathrm {C} 'e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} '}\\[1.25ex]\mathrm {P} '&=a'x+b'y+c'z+pt,\\\end{aligned}}$

$p$ est le même dans les deux expressions car nous supposons les rayons de même couleur.

Si les rayons se propagent dans la même direction, les deux plans d’onde coïncident et

$a=a'\qquad \quad b=b'\qquad \quad c=c'.$

S’ils se coupent seulement sous un angle très aigu, $a-a',$ $b-b',$ $c-c'$ sont des quantités très petites vis-à-vis de $a,$ $b,$ $c.$

Pour l’onde résultante

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \left[\mathrm {A} +\mathrm {A} 'e^{{\sqrt {-1}}(\mathrm {P} '-\mathrm {P} )}\right]e^{{\sqrt {-1}}P}\\[1.25ex]\eta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \left[\mathrm {B} +\mathrm {B} 'e^{{\sqrt {-1}}(\mathrm {P} '-\mathrm {P} )}\right]e^{{\sqrt {-1}}P}\\[1.25ex]\zeta &=\mathrm {partie~r{\acute {e}}elle~de~} \left[\mathrm {C} +\mathrm {C} 'e^{{\sqrt {-1}}(\mathrm {P} '-\mathrm {P} )}\right]e^{{\sqrt {-1}}P}.\\\end{aligned}}$

Quand les rayons sont exactement parallèles et de même