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CAS PARTICULIER DES ONDES PLANES

Dans ces conditions,

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\xi }{dx}}&={\sqrt {-1}}a\xi \qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=-a^{2}\xi \\[1.5ex]{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}&=-b^{2}\xi \qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=-c^{2}\xi \\[1.5ex]\end{alignedat}}$

$\Delta \xi =-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\,\xi$

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-p^{2}\xi .$

Substituons, il vient :

(2)

$\rho \,p^{2}=\mu (a^{2}+b^{2}+c^{2}).$

Il faut en outre que :

(3)

$\theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=0,$

ce qui donne :

$0={\sqrt {-1}}(a\xi +b\eta +c\zeta )={\sqrt {-1}}e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }(a\mathrm {A} +b\mathrm {B} +c\mathrm {C} )$

ou :

$\mathrm {A} a+\mathrm {B} b+\mathrm {C} c=0$

équation exprimant que la vibration est dans le plan de l’onde.

Ceci reste vrai quelles que soient les valeurs, réelles ou imaginaires, de $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ $p,$ $a,\,b,\,c.$ En général nous regarderons $\mathrm {A,\,B,\,C}$ comme réels : $p$ sera toujours supposé réel.

Les plans ayant pour équation générale :

$ax+by+cz=\mathrm {C} ^{\mathrm {te} }$

s’appelleront les plans de l’onde.