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INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT

servant de ces expressions imaginaires, et de ne conserver à la fin que les parties réelles, seules susceptibles d’une interprétation physique.

24. Ondes planes. — Appliquons cette méthode à l’étude des ondes planes.

Dans l’équation générale

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \left(\Delta \xi -{\frac {d\theta }{dx}}\right)$

nous devons faire $\theta =0$ puisque les vibrations lumineuses sont transversales, il reste :

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \Delta \xi$

et de même

${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mu \Delta \eta \\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mu \Delta \zeta .\\\end{aligned}}$

Cherchons à satisfaire à ces équations en posant :

(1)

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\\eta &=\mathrm {B} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\\zeta &=\mathrm {C} e^{{\sqrt {-1}}\mathrm {P} }\\\end{aligned}}$

où :

$\mathrm {P} =ax+by+cz+pt$

$a,\,b,\,c,\,\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,p$ étant des constantes. Nous obtiendrons de la sorte une solution imaginaire des équations et par conséquent une solution réelle, représentée par la partie réelle de l’expression imaginaire.