Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/41

29

COMPARAISON AVEC LA THÉORIE ÉLASTIQUE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

par exemple, est nulle. La démonstration s’appliquera aux autres qui s’en déduisent par symétrie.

Cette intégrale s’écrit aussi :

$\iiint \left({\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}}-{\frac {d\xi }{dy}}{\frac {d\eta }{dx}}\right)dx\,dy\,dz,$

les trois sommations étant étendues à tout l’espace, ou par conséquent

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!\!\!\!\!\!dz\iint \left({\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}}-{\frac {d\xi }{dy}}{\frac {d\eta }{dx}}\right)dx\,dy.$

L’intégrale double est nulle, si nous supposons que $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ s’annulent à l’infini ; dans cette intégration, on suppose que $z$ reste constant, autrement dit on intègre pour tous les éléments de surface, contenus dans un plan $z=\mathrm {const.}$

Considérons $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ comme les coordonnées d’un point de l’espace : ce sont des fonctions de $x$ et de $y\,;$ à chaque point du plan $z=\mathrm {const.}$ correspond un point de l’espace ; au plan tout entier correspondra une certaine surface fermée ; en effet, pour les points à distance finie, $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ sont finis ; si le point s’éloigne dans le plan indéfiniment dans une direction déterminée, $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ tendent vers $0,$ puisqu’ils s’annulent à l’infini ; la courbe qui correspond à cette direction est donc fermée. Comme cette direction est quelconque, on en conclut que la surface est aussi fermée.

L’intégrale étudiée représente la projection de la surface sur le plan des $\xi \eta .$ Comme la surface est fermée, cette intégrale est nulle.