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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE

L’énergie magnétique est, de son côté, égale à l’énergie potentielle. En effet, faisons aussi la traduction.

$\alpha =-u'=-{\frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {du}{dt}}=-\left({\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}\right),$

puisque nous avons pris $\mu =1.$

Posons :

$\mathrm {V} =\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\left({\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}\right)^{2}\!\!+\left({\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}}\right)^{2}\!\!+\left({\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}}\right)^{2}\cdot$

L’énergie magnétique sera

$\int {\frac {\mathrm {V} \,d\tau }{8\pi }}\cdot$

Posons encore :

$\mathrm {U} \!=\!\left({\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}}-{\frac {d\xi }{dy}}{\frac {d\eta }{dx}}\right)\!+\!\left({\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\zeta }{dz}}-{\frac {d\xi }{dz}}{\frac {d\zeta }{dx}}\right)\!+\!\left({\frac {d\eta }{dy}}{\frac {d\zeta }{dz}}-{\frac {d\eta }{dz}}{\frac {d\zeta }{dy}}\right)\cdot$

Il est facile de vérifier l’identité :

$\mathrm {W} ={\frac {\mathrm {V} }{2}}-2\mathrm {U} ,$

ou

$\int \mathrm {W} \,d\tau =\int {\frac {\mathrm {V} \,d\tau }{2}}-2\int \mathrm {U} \,d\tau .$

Je dis que $\textstyle \int \mathrm {U} \,d\tau =0.$

Pour le démontrer, il suffit de démontrer que l’une des trois intégrales

$\int \left({\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}}-{\frac {d\xi }{dy}}{\frac {d\eta }{dx}}\right)d\tau ,$