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COMPARAISON AVEC LA THÉORIE ÉLASTIQUE

et de l’énergie potentielle $\textstyle \int \mathrm {W} \,d\tau ,$ en posant :

$\mathrm {W} =\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\alpha _{3}^{2}+{\frac {\beta _{1}^{2}}{2}}+{\frac {\beta _{2}^{2}}{2}}+{\frac {\beta _{3}^{2}}{2}}-\theta ^{2},$

en appliquant au cas actuel la formule donnée au n^o 3 et remarquant que :

$\mu =1\;$ et $\;\lambda +2\mu =0,\;$ ou $\;\lambda =-2$

puisqu’il s’agit d’ondes transversales.

L’énergie dans la théorie de Fresnel a donc pour expression :

$\int {\frac {\rho }{2}}\left(\xi _{1}^{2}+\eta _{1}^{2}+\zeta _{1}^{2}\right)d\tau +\int \mathrm {W} \,d\tau .$

Pour Maxwell elle se compose de l’énergie électrostatique, plus l’énergie magnétique, et elle a pour expression :

$\int {\frac {\mathrm {K} }{8\pi }}\left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right)\,d\tau +\int {\frac {1}{8\pi }}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\,d\tau .$

Le premier terme, l’énergie électrostatique, est équivalent à l’énergie cinétique ; en effet traduisons-le en notations de la théorie élastique : il faut changer $\mathrm {K,\,X,\,Y,\,Z}$ en $\rho ,\,\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',$ ce qui donne

$\int {\frac {\rho }{8\pi }}\left(\xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}\right),$

expression identique à celle de l’énergie cinétique au facteur numérique ${\frac {1}{4\pi }}$ près. Il n’y pas à s’inquiéter de ce facteur, car le système d’unités n’est pas le même dans les deux cas.