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POLARISATION ROTATOIRE

$\mathrm {BC} =\mathrm {B'C'} =120^{\circ }\,;$ ensuite ces points se reproduisent de trois lames en trois lames. Le passage à travers chaque lame équivaut à une rotation $\omega$ autour de $\mathrm {AA'}$ pour la première, de $\mathrm {BB'}$ pour la seconde, de $\mathrm {CC'}$ pour la troisième, soit pour chaque paquet une rotation résultante $(\mathrm {ABC} )\,;$ et, s’il y a $3p$ lames ou $p$ paquets, l’effet total de la pile sera une rotation $(\mathrm {ABC} )^{p}.$

Considérons l’axe $\mathrm {PP'}$ perpendiculaire au plan de l’équateur, et faisons tourner la sphère de 120° autour de cet axe : cette rotation $\mathrm {S}$ amène $\mathrm {AA'}$ en $\mathrm {BB'} ,$ $\mathrm {BB'}$ en $\mathrm {CC'} ,$ etc. Une rotation $\mathrm {S} ^{2}$ sera de 240°, et amènera $\mathrm {AA'}$ en $\mathrm {CC'} ,$ etc. ; enfin une rotation $\mathrm {S} ^{3}$ sera de 360°, et ramènera la sphère à sa position primitive. D’après nos notations, nous poserons donc :

${\begin{alignedat}{6}\mathrm {S} \;&=120^{\circ }\qquad \quad &\mathrm {S} ^{-1}&=-120^{\circ }\\[0.5ex]\mathrm {S} ^{2}&=240^{\circ }\qquad \quad &\mathrm {S} ^{-2}&=-240^{\circ }\\[0.5ex]\mathrm {S} ^{3}&=1\\\end{alignedat}}$

$\mathrm {B}$ est une rotation autour de l’axe $\mathrm {BB'} ,$ obtenu en faisant tourner $\mathrm {AA'}$ de 120° autour de $\mathrm {PP'} .$ Appliquons le lemme que nous avons démontré :

$\mathrm {B} =\mathrm {S} ^{-1}\,\mathrm {A} \,\mathrm {S} ,$

et de même

$\mathrm {C} =\mathrm {S} ^{-2}\,\mathrm {A} \,\mathrm {S} ^{2}.$

D’où :

$\mathrm {ABC} =\mathrm {A} \,\mathrm {S} ^{-1}\,\mathrm {A} \,\mathrm {S} \,\mathrm {S} ^{-2}\mathrm {A} \,\mathrm {S} ^{2},$

mais on a évidemment :

$\mathrm {S} ^{2}=\mathrm {S} ^{3}.\mathrm {S} ^{-1}=\mathrm {S} ^{-1},$