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AUTRES FORMES DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT

Formons l’expression :

${\frac {d^{2}w}{dy\,dt}}-{\frac {d^{2}v}{dz\,dt}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}w}{dy\,dt}}&=\mu \left({\frac {d^{2}\eta }{dx\,dy}}-{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}\right)\\[1.5ex]-{\frac {d^{2}v}{dz\,dt}}&=\mu \left({\frac {d^{2}\zeta }{dx\,dz}}-{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\right)\\[1.5ex]0&=\mu \left({\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}-{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Additionnons membre à membre :

${\frac {d^{2}w}{dy\,dt}}-{\frac {d^{2}v}{dz\,dt}}=\mu \left({\frac {d\theta }{dx}}-\Delta \xi \right)\cdot$

Donc :

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\left({\frac {d^{2}w}{dy\,dt}}-{\frac {d^{2}v}{dz\,dt}}\right)\cdot$

Intégrons par rapport à $t$ :

$\rho \,{\frac {d\xi }{dt}}=-\left({\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\right)$

D’après l’hypothèse que nous avons faite sur les conditions initiales, la constante d’intégration est nulle.

Les équations du mouvement pourront donc être mises sous la forme :

(V)

$\left.{\begin{aligned}\rho \,{\frac {d\xi }{dt}}&=-\left({\frac {dw}{dy}}-{\frac {dv}{dz}}\right)\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d\eta }{dt}}&=-\left({\frac {du}{dz}}-{\frac {dw}{dx}}\right)\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d\zeta }{dt}}&=-\left({\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\right)\\\end{aligned}}\;\;\right\}$