Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/27

15

ONDES PLANES

Puisque ${\frac {d\eta }{dt}}$ et ${\frac {d\xi }{dt}}$ sont proportionnels à ${\frac {d\eta }{dz}}$ et ${\frac {d\xi }{dz}},$ les intensités données par les deux définitions sont donc proportionnelles.

11. Autres formes des équations du mouvement. — Nous avons trouvé pour représenter le mouvement de l’éther les équations :

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mu \Delta \xi +(\lambda +\mu ){\frac {d\theta }{dx}}\cdot$

Pour que les vibrations longitudinales aient une vitesse constamment nulle, il faut que

$\lambda +2\mu =0.$

Introduisons cette condition, et les équations deviennent :

(II)

$\left.{\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mu \left(\Delta \xi -{\frac {d\theta }{dx}}\right)\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mu \left(\Delta \eta -{\frac {d\theta }{dy}}\right)\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mu \left(\Delta \zeta -{\frac {d\theta }{dz}}\right)\\\end{aligned}}\;\;\right\}$

Si les vibrations sont transversales, on a à l’origine du temps,

$\theta =0\qquad \qquad {\frac {d\theta }{dt}}=0$

et $\theta$ reste nul à une époque quelconque. En effet, différencions les équations (2) par rapport à $x,\,y\,z$ et ajoutons, il