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THÉORIE ÉLASTIQUE DE LA LUMIÈRE

Nous poserons donc :

${\begin{aligned}\xi &=f\left(z-t{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\right)\\[1.5ex]\eta &=\varphi \left(z-t{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\right),\\\end{aligned}}$

par suite :

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dz}}&=f'\qquad \qquad {\frac {d\eta }{dz}}=\varphi '\\[1.5ex]{\frac {d\xi }{dt}}&=-f'{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}=-{\frac {d\xi }{dz}}{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\\[1.5ex]{\frac {d\eta }{dt}}&=-\varphi '{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}=-{\frac {d\eta }{dz}}{\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}\cdot \\\end{aligned}}$

L’intensité définie par l’énergie cinétique moyenne est proportionnelle à la valeur moyenne de

$\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}\cdot$

Calculons maintenant l’énergie potentielle $\mathrm {W}$ en considérant l’énergie localisée dans un élément de volume $d\tau$ et la rapportant à l’unité de volume :

$\mathrm {W} =\mu \left(\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\alpha _{3}^{2}+{\frac {\beta _{1}^{2}}{2}}+{\frac {\beta _{2}^{2}}{2}}+{\frac {\beta _{3}^{2}}{2}}\right)+\lambda \,{\frac {\theta ^{2}}{2}}\cdot$

Dans le cas actuel toutes les dérivées prises par rapport à $x$ et $y$ sont nulles, de plus $\zeta =0,$ ainsi que toutes ses dérivées. Donc :

${\begin{aligned}\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}&=0\qquad \qquad \theta =0\qquad \qquad \beta _{3}=0\\[1.5ex]\beta _{1}&={\frac {d\eta }{dz}}\qquad \qquad \beta _{2}={\frac {d\xi }{dz}}\\[1.5ex]\mathrm {W} &={\frac {\mu }{2}}\left[\left({\frac {d\eta }{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {d\xi }{dz}}\right)^{2}\right]\cdot \\\end{aligned}}$