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CAS PARTICULIER DES ONDES PLANES

Par conséquent, si le mouvement est périodique, il est transversal.

138. Cas particulier des ondes planes. — Supposons en particulier que :

${\begin{aligned}\xi &=f(z,t)\\[0.5ex]\eta &=\zeta =0\\[0.5ex]\xi _{1}&=f(z,t)\\[0.5ex]\eta _{1}&=\zeta _{1}=0,\\\end{aligned}}$

c’est-à-dire que le déplacement soit parallèle à $\mathrm {O} x$ et ne dépende que de $z$ et de $f,$ nous aurons une onde plane parallèle au plan des $xy.$ Le mouvement étant transversal $\theta =\theta _{1}=0,$ ce qui se réduit à :

${\frac {d\xi }{dx}}=0\qquad {\frac {d\xi _{1}}{dx}}=0.$

Les deux dernières équations de chacun des systèmes (3) et (4) sont satisfaites d’elles-mêmes, il reste seulement :

(6)

$\left\{{\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mu \,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\mathrm {P} _{1}(\xi _{1}-\xi )\\\rho _{1}\,{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}&=\mathrm {P} _{1}(\xi -\xi _{1})-\mathrm {H} _{1}\xi _{1}-\mathrm {R} _{1}\,{\frac {d\xi _{1}}{dt}}\\\end{aligned}}\right.$

système de deux équations à deux inconnues.

Nous allons en particulier étudier les ondes planes périodiques ; nous chercherons donc à vérifier ces équations en posant :

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}(\alpha z-pt)}\\[0.5ex]\xi _{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{{\sqrt {-1}}(\alpha z-pt)}.\\\end{aligned}}$