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THÉORIE DE LA DISPERSION DE HELMHOLTZ

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Ces relations montrent que, si à l’origine des temps

$\theta ,\qquad \theta _{1},\qquad {\frac {d\theta }{dt}},\qquad {\frac {d\theta _{1}}{dt}}$

sont nuls, il en est de même de toutes leurs dérivées par rapport au temps : donc $\theta$ et $\theta _{1}$ sont identiquement nuls.

Par conséquent, si on part du repos, $\theta$ et $\theta _{1}$ sont toujours nuls.

Il en sera encore de même si le mouvement est périodique.

Posons en effet :

${\begin{aligned}\theta &=\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\\[1ex]\theta _{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{{\sqrt {-1}}\,pt},\\\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} _{1}$ ne dépendant que de $(x,\,y,\,z).$

Nous avons vu déjà que, si la partie réelle de cette expression satisfait à des équations de la forme des équations (3) et (4), l’expression entière y satisfait également.

Nous aurons :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-p^{2}\theta \\[1ex]{\frac {d^{2}\theta _{1}}{dt^{2}}}&=-p^{2}\theta _{1}\\[1ex]{\frac {d\theta _{1}}{dt}}&={\sqrt {-1}}\,p\theta _{1}.\\\end{aligned}}$

Substituons dans les équations (5)

${\begin{aligned}-\rho p^{2}\theta &=\mathrm {P} _{1}(\theta _{1}-\theta )\\[1ex]-\rho _{1}p^{2}\theta _{1}&=\mathrm {P} _{1}(\theta -\theta _{1})-\mathrm {H} _{1}\theta _{1}-\mathrm {R} _{1}{\sqrt {-1}}\,p\theta _{1}.\\\end{aligned}}$

Dans la seconde équation le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ devant être nul, $\theta _{1}=0\,;$ la première donne alors $\theta =0.$