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HYPOTHÈSES DE HELMHOLTZ

Ceci montre que $\mathrm {X} _{2}$ doit être une fonction linéaire des différences $\xi -\xi _{1}\dots ,$ etc.

$\mathrm {X} _{2}=a(\xi -\xi _{1})+b(\eta -\eta _{1})+c(\zeta -\zeta _{1}).$

Si nous supposons pour le moment le milieu isotrope, rien ne distingue une direction de l’autre, $\mathrm {X} _{2}$ ne doit pas changer quand on change de signe à la fois $\eta$ et $\eta _{1},$ ou $\zeta$ et $\zeta _{1}\,;$ donc, $b=c=0,$ et :

$\mathrm {X} _{2}=a(\xi -\xi _{1})\,;$

de même

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{2}&=a'\,(\eta -\eta _{1})\\[0.5ex]\mathrm {Z} _{2}&=a''(\zeta -\zeta _{1}).\\\end{aligned}}$

Comme rien ne distingue non plus les axes de coordonnées l'un de l’autre,

$a=a'=a''.$

Helmholtz pose

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {X} _{2}&=-\mathrm {P} _{1}(\xi -\xi _{1})\\[0.75ex]\mathrm {Y} _{2}&=-\mathrm {P} _{1}(\eta -\eta _{1})\\[0.75ex]\mathrm {Z} _{2}&=-\mathrm {P} _{1}(\zeta -\zeta _{1})\\\end{aligned}}\right.$

et les équations du mouvement des molécules d’éther prennent la forme

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mu \left(\Delta \xi -{\frac {d\theta }{dx}}\right)-\mathrm {P} _{1}(\xi -\xi _{1})\\[1ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mu \left(\Delta \eta -{\frac {d\theta }{dy}}\right)-\mathrm {P} _{1}(\eta -\eta _{1})\\[1ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mu \left(\Delta \zeta -{\frac {d\theta }{dz}}\right)-\mathrm {P} _{1}(\zeta -\zeta _{1}).\\\end{aligned}}\right.$

Il introduit de cette façon trois nouvelles inconnues, $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1}\,;$ il faut trouver, pour les déterminer, trois autres équations,