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THÉORIE DE LA DISPERSION DE HELMHOLTZ

soit $\mathrm {X} _{2}$ la projection de leur résultante. Nous aurons :

$\mathrm {X} =\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X_{2}.}$

$\mathrm {X} _{1}$ se calculera comme dans le cas d’un milieu non dispersif (§ 12).

$\mathrm {X} _{1}=\mu \left(\Delta \xi -{\frac {d\theta }{dx}}\right)\cdot$

Pour trouver $\mathrm {X} _{2},$ considérons une molécule matérielle de coordonnées $(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$ et une molécule d’éther $(x,\,y,\,z)\,;$ après le déplacement ces coordonnées deviennent :

$x_{1}+\xi _{1},\,y_{1}+\eta _{1},\,z_{1}+\zeta _{1}\quad$ et $\quad x+\xi ,\,y+\eta ,\,z+\zeta .$

L’attraction entre ces deux molécules étant supposée proportionnelle à une certaine fonction de leur distance $r,$ $f(r),$ sa projection sur l’axe des $x$ sera :

$\mathrm {A} =f(r){\frac {x-x_{1}}{r}}=\varphi \left[(x-x_{1}),\,(y-y_{1}),\,(z-z_{1})\right],$

puisque $r$ est une fonction des différences $(x-x_{1}),$ etc.

Quand les molécules se sont déplacées, la distance $r$ et la force $\mathrm {A}$ auront varié, et

$\delta \mathrm {A} ={\frac {d\varphi }{dx}}(\xi -\xi _{1})+{\frac {d\varphi }{dy}}(\eta -\eta _{1})+{\frac {d\varphi }{dz}}(\zeta -\zeta _{1}).$

D’où

$\mathrm {X} _{2}=\sum (\mathrm {A} +\delta \mathrm {A} )=\sum \mathrm {A} +\sum \delta \mathrm {A} .$

Dans l’état d’équilibre, toutes les forces doivent avoir une résultante nulle : donc $\textstyle \sum \mathrm {A} =0.$ Il reste :

$\mathrm {X} _{2}=\sum \delta \mathrm {A} .$