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ONDES SPHÉRIQUES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Le premier membre doit être nul identiquement, ce qui exige que le terme général soit nul. La fonction $\mathrm {F} _{n}$ doit donc vérifier l’équation différentielle :

(6)

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{n}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}}+\mathrm {F} _{n}\left(\alpha ^{2}-{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\right)=0.$

La seule solution de cette équation qui reste finie pour $r=0$ est un polynôme entier en $\cos \alpha r,$ $\sin \alpha r,$ et ${\frac {1}{r}}\cdot$

Posons :

$\mathrm {U} _{n}={\frac {\mathrm {D} ^{n}(u^{2}-1)^{n}}{2^{n}n!}}$

$\mathrm {R} _{n}=\int _{-1}^{+1}e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha ru}\mathrm {U} _{n}\left({\sqrt {-1}}\right)^{n}\,du.$

Cette expression est une fonction de $r\,;$ c’est un polynôme entier en $e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha r},$ $e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}$ et ${\frac {1}{r}},$ par suite en $\cos \alpha r,$ $\sin \alpha r$ et ${\frac {1}{r}},$ c’est la solution cherchée.

On vérifie d’ailleurs aisément que l’on a :

$\mathrm {R} _{n}={\sqrt {\frac {\pi }{2\alpha r}}}\,\mathrm {J} _{n+{\frac {1}{2}}}(\alpha r)\cdot$

Donc

$\mathrm {F} _{n}=\mathrm {A} _{n}\mathrm {R} _{n},$

$\mathrm {A} _{n}$ ne dépendant que du temps et

$\xi =\sum \mathrm {A} _{n}\mathrm {R} _{n}\mathrm {X} _{n}.$

Les fonctions sphériques contiennent, comme cas particuliers, les polynômes de Legendre.

$\mathrm {X} _{n}(\theta )={\frac {\mathrm {D} ^{n}}{(d\cos \theta )^{n}}}{\frac {\left(\cos ^{2}\theta -1\right)^{n}}{2^{n}n!}}\cdot$