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DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES
Mais d’après le théorème des fonctions homogènes le facteur
entre
est nul : car
est une fonction homogène de
degré
de
puisque
et
sont de degré
en
et que
ne dépend pas de ![{\displaystyle r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a)
Donc :
![{\displaystyle \Delta \xi =\sum \mathrm {X} _{n}\Delta \mathrm {F} _{n}+\sum \mathrm {F} _{n}\Delta \mathrm {X} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414ac99d9c7261d0f62bbe76f52e961a77aaf484)
D’après la définition des fonctions sphériques :
(2)
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Si
ne dépend que de
![{\displaystyle \Delta \mathrm {F} _{n}={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{n}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}\,{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f99c88e5e8673c8c2d71a9aeb50f294869c23b)
Appliquons cette formule à
![{\displaystyle \Delta r^{n}=n(n-1)r^{n-2}+2nr^{n-2}=n(n+1)r^{n-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5b1b6201de8eca412437142e93f64a14e2e5af)
Remplaçons
par sa valeur dans (2) :
![{\displaystyle 0=\mathrm {X} _{n}n(n+1)r^{n-2}+r^{n}\Delta \mathrm {X} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80964e15deba1a9dc48ef08d7610d9525877eb4d)
(3)
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Tirons de cette équation la valeur de
et portons-la
dans
il vient :
(4)
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L’équation (1) peut alors se mettre sous la forme :
(5)
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