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ONDES CYLINDRIQUES

126. Revenons à présent à la valeur exacte de $\xi \,:$ dans le plan des $xz,$ qui est le plan mené par la ligne focale perpendiculairement à l’axe $\mathrm {SF} ,$ l’expression asymptotique de $\xi$ serait nulle.

Pour ce plan focal, $\omega ={\frac {\pi }{2}}$ et par suite :

${\begin{aligned}\cos(2n+1)\omega &=0\\\cos 2n\omega &=(-1)^{n}\\\end{aligned}}$

Donc :

$\xi =\sum \mathrm {A} _{2n}(-1)^{n}\mathrm {J} _{2n}(\alpha \rho ).$

Pour achever le calcul nous allons nous servir de l’expression de $\mathrm {J} _{2n}(\alpha \rho ),$ sous forme d’intégrale définie suivant les sinus et cosinus des multiples de $\varphi .$ On sait que :

${\begin{aligned}e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha \rho \,\sin \varphi }&=\mathrm {J} _{0}+2{\sqrt {-1}}\,\mathrm {J} _{1}\sin \varphi +2\mathrm {J} _{2}\cos 2\varphi +2{\sqrt {-1}}\,\mathrm {J} _{3}\sin 3\varphi \\[1ex]&=\mathrm {J} _{0}+2\sum \mathrm {J} _{2n}\cos 2n\varphi +2{\sqrt {-1}}\sum \mathrm {J} _{2n+1}\sin(2n+1)\varphi \\\end{aligned}}$

En développant $e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha \rho \,\sin \varphi }$ par la formule de Fourier et comparant, il vient :

${\begin{aligned}2\pi \mathrm {J} _{0}&=\int _{0}^{2\pi }e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha \rho \,\sin \varphi }\,d\varphi \\[1ex]2\pi \mathrm {J} _{2n}&=\int _{0}^{2\pi }e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha \rho \,\sin \varphi }\cos 2n\varphi \,d\varphi \\\end{aligned}}$

Substituons ces valeurs dans l’expression de $\xi \,:$

$2\pi \xi =\int _{0}^{2\pi }e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha \rho \,\sin \varphi }\sum \mathrm {A} _{2n}(-1)^{n}\cos 2n\varphi \,d\varphi$

Comme l’intégrale est définie et que les limites sont des