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DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

convergente, d’où :

$\xi =\mathrm {H} \cos \left(\alpha \rho -{\frac {\pi }{4}}+pt\right)=\mathrm {H} \cos(\psi +pt)$

Pour $\omega$ compris entre $+\beta$ et $\pi -\beta ,$ on est en dehors du faisceau et il n’y a pas de lumière :

$\xi =0.$

Pour $\omega$ compris entre $\pi -\beta$ et $\pi ,$ l’onde est divergente et l’on a :

$\xi =\mathrm {H} \cos(\psi -pt)$

En comparant cette expression de $\xi$ à l’expression (1) et identifiant les coefficients de $\cos \psi$ et de $\sin \psi ,$ nous trouverons :

${\begin{aligned}0<\omega <\beta \;\;&\left\{{\begin{aligned}\mathrm {B} &=\cos pt\\[0.75ex]\mathrm {C} &=\sin pt\\\end{aligned}}\right.\\[0.75ex]\beta <\omega <\pi -\beta \;\;&\left\{{\begin{aligned}\mathrm {B} &=0\\[0.75ex]\mathrm {C} &=0\\\end{aligned}}\right.\\[0.75ex]\pi -\beta <\omega <\pi \;\;&\left\{{\begin{aligned}\mathrm {B} &=\cos pt\\[0.75ex]\mathrm {C} &=\sin pt\\\end{aligned}}\right.\\\end{aligned}}$

Ces fonctions $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ sont donc définies entre $0$ et $\pi$ et par conséquent entre $-\pi$ et $+\pi .$ Il suffit pour étendre la définition à ce second intervalle de changer $\omega$ en $\pi -\omega ,$ ce qui modifie le signe de $\mathrm {C}$ sans changer celui de $\mathrm {B} .$

La formule de Fourier permet alors de calculer les coefficients $\mathrm {A} \,;$ on trouve :

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{2n}&=(-1)^{n}\,{\frac {\sin 2n\beta }{2n}}\,{\frac {4}{\pi }}\\[0.75ex]\mathrm {A} _{2n+1}&=(-1)^{n}\,{\frac {\sin(2n+1)\beta }{2n}}\,{\frac {4}{\pi }}\\\end{aligned}}$