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ONDES CYLINDRIQUES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

sont fonctions de $t.$

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}&=\mathrm {A} '_{n}\cos pt+\mathrm {A} ''_{n}\sin pt\\\mathrm {B} _{n}&=\mathrm {B} '_{n}\cos pt+\mathrm {B} ''_{n}\sin pt.\\\end{aligned}}$

Le plan des $xy$ étant un plan de symétrie, $\xi$ ne change pas quand on remplace $\omega$ par $-\omega ,$ les termes qui contiennent les sinus doivent donc être nuls, et l’expression de $\xi$ se réduire à :

${\begin{aligned}\xi &=\sum \mathrm {A} _{n}\mathrm {J} _{n}(\alpha \rho )\cos n\omega \\[1ex]&=\sum \mathrm {A} _{2n}\mathrm {J} _{2n}(\alpha \rho )\cos 2n\omega +\sum \mathrm {A} _{2n+1}\mathrm {J} _{2n+1}(\alpha \rho )\cos(2n+1)\omega .\\\end{aligned}}$

Si $\rho$ devient très grand, nous pourrons calculer une valeur asymptotique de $\xi .$ Nous avons donné déjà (85) une formule asymptotique pour $\mathrm {J} _{0}(\rho )\,:$

$\mathrm {J} _{0}(\rho )={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)\cdot$

D’autre part, les fonctions $\mathrm {J}$ sont liées par la relation de récurrence :

$n\mathrm {J} _{n}(\rho )={\frac {\rho }{2}}\left[\mathrm {J} _{n-1}(\rho )+\mathrm {J} _{n+1}(\rho )\right]$

ou

$\mathrm {J} _{n-1}(\rho )+\mathrm {J} _{n+1}(\rho )={\frac {2n}{\rho }}\,\mathrm {J} _{n}(\rho )$

quand $\rho$ devient très grand, le second membre tend vers $0$ et approximativement :

$\mathrm {J} _{n-1}(\rho )+\mathrm {J} _{n+1}(\rho )=0$