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DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES

l’axe $\mathrm {SF}$ de la parabole parallèlement aux génératrices du cylindre sera un plan de symétrie.

Une onde plane tombe sur ce cylindre : les plans d’onde sont perpendiculaires à l’axe $\mathrm {SF} .$ D’après la théorie géométrique de la réflexion, les rayons réfléchis passent par le foyer $\mathrm {F}$ et les ondes réfléchies passent par la ligne focale, menée en $\mathrm {F}$ parallèlement aux génératrices du cylindre. Les rayons formeraient donc un faisceau limité par les plans parallèles aux génératrices, dont les traces sur le plan de la figure sont $\mathrm {AFA'}$ et $\mathrm {BFB'} .$

Prenons la ligne focale comme axe des $x\,;$ comme plan des $xy$ le plan contenant cet axe et l’axe $\mathrm {SF}$ de la parabole : ce sera le plan de symétrie. Posons ensuite :

${\begin{aligned}y&=\rho \cos \omega \\z&=\rho \sin \omega .\\\end{aligned}}$

Supposons que la vibration soit parallèle à $\mathrm {O} x\,;$ nous pourrons écrire :

$\xi =f(\rho ,\omega )\cos pt+f_{1}(\rho ,\omega )\sin pt,$

$\xi$ doit vérifier l’équation

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0.$

Nous avons trouvé que $\xi$ devait alors être de la forme^[1] :

${\begin{alignedat}{6}\xi =\mathrm {A} _{0}\mathrm {J} _{0}(\alpha \rho )&+\mathrm {A} _{1}\mathrm {J} _{1}(\alpha \rho )\cos \omega &&+\mathrm {A} _{2}\mathrm {J} _{2}(\alpha \rho )\cos 2\omega &&+\cdots \\&+\mathrm {B} _{1}\mathrm {J} _{1}(\alpha \rho )\sin \omega &&+\mathrm {B} _{2}\mathrm {J} _{2}(\alpha \rho )\sin 2\omega &&+\cdots \\\end{alignedat}}$

$\mathrm {A_{0},\,A_{1},\,\dots ,\,B_{0},\,B_{1},\,\dots }$ ne dépendent pas de $\rho$ et de $\omega ,$ mais

1. Pour plus de détails sur les propriétés de ces équations et des fonctions $\mathrm {J} _{0}(\rho ),$ voir Tisserand, Traité de mécanique céleste.