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ONDES CYLINDRIQUES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\mathrm {A}$ étant une constante et $\mathrm {J} _{n}(\rho )$la fonction de Bessel :

$\mathrm {J} _{n}(\rho )={\frac {\left({\dfrac {\rho }{2}}\right)^{n}}{n!}}\left[1-{\frac {\left({\dfrac {\rho }{2}}\right)^{2}}{1.(n+1)}}+{\frac {\left({\dfrac {\rho }{2}}\right)^{4}}{1.2..(n+1)(n+2)}}-{\frac {\left({\dfrac {\rho }{2}}\right)^{6}}{1.2.3.(n+1)(n+2)(n+3)}}\cdots \right]$

Pour avoir $\lambda _{n}$ il suffit de changer $\rho$ en $\alpha \rho \,:$

$\lambda _{n}=\mathrm {A} _{n}\mathrm {J} _{n}(\alpha \rho ).$

De même :

$\mu _{n}=\mathrm {B} _{n}\mathrm {J} _{n}(\alpha \rho ).$

Substituons ces valeurs de $\lambda _{n}$ et de $\mu _{n}$ dans $\xi ,$ il vient ;

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{0}\mathrm {J} _{0}(\alpha \rho )+\mathrm {J} _{1}(\alpha \rho )\left(\mathrm {A} _{1}\cos \omega +\mathrm {B} _{1}\sin \omega \right)\\&+\mathrm {J} _{2}(\alpha \rho )\left(\mathrm {A} _{2}\cos {2\omega }+\mathrm {B} _{2}\sin {2\omega }\right)+\!\cdots \!+\mathrm {J} _{n}(\alpha \rho )\left(\mathrm {A} _{n}\cos {n\omega }+\mathrm {B} _{n}\sin {n\omega }\right)\\\end{aligned}}$

124. Nous allons appliquer cette formule à l’étude des phénomènes qui se passent au voisinage d’une ligne focale.

Fig. 29.

Soient un miroir en forme de cylindre parabolique (fig. 29), $\mathrm {ASB}$ la parabole de base ; nous supposerons que les extrémités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont également distantes de $\mathrm {S} \,:$ le plan mené par