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PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DIFFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

à laquelle doit satisfaire $\xi ,$ prend en fonction de $\rho ,\,\omega ,$ la forme :

(2)

${\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {d\xi }{d\rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {d^{2}\xi }{d\omega ^{2}}}+\alpha ^{2}\xi =0.$

$\xi$ est une fonction périodique de $\omega$ et peut être développé suivant la formule de Fourier :

${\begin{alignedat}{6}\xi =\lambda _{0}&+\lambda _{1}\cos \omega &&+\lambda _{2}\cos 2\omega &&+\cdots +\lambda _{n}\cos n\omega \\&+\mu _{1}\sin \omega &&+\mu _{2}\sin 2\omega &&+\cdots +\mu _{n}\sin n\omega ,\\\end{alignedat}}$

$\lambda _{0},\,\lambda _{1}\,\dots \,\lambda _{n},\,\mu _{0},\,\mu _{1}\,\dots \,\mu _{n}$ étant des fonctions de $\rho .$

Substituons à $\xi$ cette valeur dans (2).

$\xi =\sum \lambda _{n}\cos n\omega +\sum \mu _{n}\sin n\omega$

${\frac {d^{2}\xi }{d\omega ^{2}}}=\sum -n^{2}\lambda _{n}\cos n\omega +\sum -n^{2}\mu _{n}\sin n\omega .$

Le premier membre de (2) doit être identiquement nul : les coefficients de $\cos n\omega$ et de $\sin n\omega$ doivent être nuls identiquement :

$\lambda _{n}$ satisfait donc à l’équation différentielle :

(3)

${\frac {d^{2}\lambda _{n}}{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {d\lambda _{n}}{d\rho }}-{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\,\lambda _{n}+\alpha ^{2}\lambda _{n}=0.$

Faisons $\;\alpha =1\qquad \lambda _{n}=u.$

(4)

${\frac {d^{2}u}{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {du}{d\rho }}+u\left(1-{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\right)=0.$

$\lambda _{n}$ doit rester fini pour $\rho =0.$ Les seules solutions de l’équation (4) qui restent finies pour $\rho =0$ sont de la forme

$u=\mathrm {A} \mathrm {J} _{n}(\rho ),$