Substituons dans l’équation (3) :
Les conditions
permettent de définir les constantes d’intégration B {\displaystyle \mathrm {B} } et C . {\displaystyle \mathrm {C} .}
Il est aisé de reconnaître les intégrales de Fresnel.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ''&=-{\sqrt {-1}}\,\pi \varphi 'u\\[0.75ex]{\frac {\varphi ''}{\varphi '}}&=-{\sqrt {-1}}\,\pi \,u\\[0.75ex]\varphi '&=\mathrm {B} e^{-{\sqrt {-1}}\,\pi {\frac {u^{2}}{2}}}\\[0.75ex]\mathrm {A} =\varphi &=\mathrm {B} \int e^{-{\sqrt {-1}}\,\pi {\frac {u^{2}}{2}}}\,du+\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2323528816f331404371832e80ab4a8c419ff91c)
![{\displaystyle {\begin{array}{lclclcl}\mathrm {A} =0&\mathrm {pour} &x<0&\mathrm {et} &z=0,&\mathrm {ou} &u=-\infty \\[0.75ex]\mathrm {A} =1&\mathrm {pour} &x>0&\mathrm {et} &z=0,&\mathrm {ou} &u=+\infty \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06449e2d7b3c277f1c51f50eb21ad3c235bb48c9)
et 
