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INTÉGRALES DE FRESNEL

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Remplaçons ${\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dz^{2}}}$ par cette valeur dans (2)

${\frac {d\mathrm {A} }{dz}}={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\,{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}-{\frac {1}{4\alpha ^{2}}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {A} }{dx^{2}dz}}+{\frac {d^{3}\mathrm {A} }{dz^{3}}}\right)\cdot$

Comme $\alpha$ est très grand, on peut négliger les termes en ${\frac {1}{\alpha ^{2}}}$ et il reste :

(3)

${\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\lambda }{4\pi }}\,{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}$

en remplaçant $\alpha$ par ${\frac {2\pi }{\lambda }}\cdot$

Il faut trouver la valeur de $\mathrm {A}$ au-dessus du plan des $xy$ $(x>0,\,z=0).$

Nous admettons que : $\mathrm {A} =0$ pour $z=0$ et $x<0,$ et que $\mathrm {A} =1$ pour $z=0,\,x>0.$

Remarquons que cette fonction $\mathrm {A}$ satisfera encore à ces conditions si on change $x$ en $mx$ et $z$ en $m^{2}z,$ $m$ étant une quantité positive quelconque. Donc $\mathrm {A}$ est une fonction de ${\frac {x^{2}}{z}}\cdot$ Posons

$u=x{\sqrt {\frac {2}{z\lambda }}},$

$\mathrm {A}$ sera une fonction de $u$

$\mathrm {A} =\varphi (u)$

${\frac {du}{dx}}={\sqrt {\frac {2}{z\lambda }}}\qquad {\frac {du}{dz}}={\frac {1}{2}}{\frac {u}{z}}$

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}&=\varphi '(u){\sqrt {\frac {2}{z\lambda }}}\\{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}&=\varphi ''(u){\frac {2}{z\lambda }}\\{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}&=-{\frac {\varphi '}{2}}\,{\frac {u}{z}}\cdot \\\end{aligned}}$