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PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DIFFRACTION

Dans le cas général, $\mathrm {A}$ est une fonction de $(x,\,y,\,z,\,t),$ assujettie seulement à varier très lentement. Ici nous supposerons que $\mathrm {A}$ ne dépend pas de $t,$ c’est-à-dire que le régime est établi et ne dépend pas non plus de $y.$

La condition de transversalité se réduit alors à :

$\theta ={\frac {d\eta }{dy}}=0.$

Posons pour abréger

$\varepsilon =e^{{\sqrt {-1}}(pt-\alpha r)},$

ou

$\eta =\mathrm {A} \varepsilon .$

Il faut que :

(1)

${\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\Delta \eta .$

Or :

${\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-\mathrm {A} \varepsilon p^{2}$

$\Delta \eta =-\alpha ^{2}\mathrm {A} \varepsilon -2{\sqrt {-1}}\,\alpha \varepsilon \,{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}+\Delta \mathrm {A} .$

En substituant et remarquant que $\alpha \mathrm {V} =p,$ il vient :

$2{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=\Delta \mathrm {A} ={\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dz^{2}}}$

(2)

${\frac {d\mathrm {A} }{dz}}={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\left({\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dz^{2}}}\right)\cdot$

Différencions par rapport à $z$ :

${\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dz^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\left({\frac {d^{3}\mathrm {A} }{dx^{2}dz}}+{\frac {d^{3}\mathrm {A} }{dz^{3}}}\right)\cdot$