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PASSAGE DES ONDES PAR UNE LIGNE FOCALE
ou en posant :
![{\displaystyle h={\sqrt {\left|{\dfrac {\mathrm {PC} _{1}.\mathrm {PC} _{2}}{\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671c91433af5ea8dca785fd087089a2b4cb09c88)
![{\displaystyle \mu \nu ={\frac {h}{2r_{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0c5b1fbfd15a37b292b0f4d54bc121eaece7de)
114. Trois cas sont à distinguer :
Premier cas. — Les points sont dans l’ordre
(fig. 20)
(1) ; autrement dit, pour aller de
en
le rayon ne rencontre
aucune ligne focale, alors :
![{\displaystyle m=+\mu ^{2}\qquad n=+\nu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955238bd81250dff47974f291762510a0745d632)
Deuxième cas. — Des points sont dans l’ordre
(fig. 20) (2) ; le rayon allant de
en
rencontre une seule
ligne focale.
![{\displaystyle m=-\mu ^{2}\qquad n=+\nu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4585c8f637abfbc211967650ea03aabaaf4441)
Troisième cas. — Les points sont dans l’ordre
(fig. 20) (3), le rayon rencontre deux lignes focales :
![{\displaystyle m=-\mu ^{2}\qquad n=-\nu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6ff843c807a8c2b1c675c5adb0caba80936737)
Dans ce dernier, rentre le cas particulier où,
et
étant
confondus, le rayon passe par un foyer.
Transformons l’intégrale en réunissant ces trois cas dans la
même formule, nous aurons :
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2\pi }}{\frac {\xi '_{0}}{r_{0}}}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\int e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha (\pm \mu ^{2}x^{2}\pm \nu ^{2}y^{2})}\,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f765c34e4f92e5a04836a1f41468e8ffd5f7fb)
Comme nous l’avons dit déjà, les portions de la surface voisine
de
ont seules une influence ; sans changer la valeur de
nous pouvons donc prendre comme limites
et