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PASSAGE DES ONDES PAR UNE LIGNE FOCALE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

comme origine ; l’axe des $z$ sera $\mathrm {QP}$ et les plans des $xz$ et des $yz$ seront les sections principales de la surface au point $\mathrm {Q} .$ Un point $\mathrm {M}$ de la surface aura pour coordonnées $(x,\,y,\,z)\,;$ (nous supprimons les accents, ce qui n’a pas d’inconvénient puisque nous avons pris $\mathrm {P}$ comme origine). Ce point est le centre de gravité d’un élément $d\omega '$ faisant avec le plan des $xy$ un angle que nous appellerons $\varphi .$ Par conséquent :

$d\omega '={\frac {dx\,dy}{\cos \varphi }}$

$\xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\frac {\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r\cos \varphi }}\,dx\,dy.$

Nous savons qu’il suffit d’étendre l’intégration aux éléments voisins de $\mathrm {Q} .$ $\mathrm {M}$ sera donc toujours très voisin de $\mathrm {Q} .$ L’expression sous $\textstyle \int$ se compose de deux facteurs :

1^o ${\frac {\mathrm {X} }{r\cos \varphi }}$ qui ne varie pas rapidement et a sensiblement la même valeur en $\mathrm {M}$ et en $\mathrm {Q} \,;$

2^o $e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}$ qui varie au contraire très rapidement car sa dérivée $-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}$ est très grande puisque $\alpha$ est très grand.

Nous pourrons donc prendre dans l’évaluation de la somme le facteur ${\frac {\mathrm {X} }{r\cos \varphi }}$ avec la valeur qu’il a en $\mathrm {Q} .$

Au point $\mathrm {Q} \,:$

$r=\mathrm {PQ} =r_{0}\qquad \xi '=\xi '_{0}\qquad \psi =\varphi =0$

donc :

${\frac {\mathrm {X} }{r\cos \varphi }}={\frac {2\xi '_{0}}{r_{0}}}$