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PASSAGE DES ONDES PAR UNE LIGNE FOCALE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Substituons dans l’équation (1)

$\alpha ^{2}\xi +{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\xi }{d\rho }}+{\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}=0.$

Nous retombons sur l’équation qui définit la fonction de Bessel, donc :

$\xi =\mathrm {J} _{0}(\alpha \rho )\,;$

c’est la seule parmi les intégrales de cette équation linéaire qui se réduise à $1$ pour $\rho =0.$ D’autre part :

$\left(\xi \right)_{\rho =0}=\int _{-1}^{+1}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\cos pt=\pi \,\cos pt.$

Par conséquent :

$\xi =\mathrm {J} _{0}(\alpha \rho )\,\pi \,\cos pt.$

Cherchons une valeur approchée de $\mathrm {J} _{0}(\rho )$ quand $\rho$ devient très grand :

$\pi \mathrm {J} _{0}(\rho )=\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos z\rho }{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz=2\int _{0}^{1}{\frac {\cos(z\rho )}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz$

puisque la fonction sous le signe $\textstyle \int$ est paire. En posant :

$\varphi =\int _{0}^{1}{\frac {e^{{\sqrt {-1}}\,z\rho }}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz$

nous pouvons écrire :

${\frac {\pi }{2}}\mathrm {J} _{0}(\rho )=\mathrm {p.~r{\acute {e}}elle~de~} \varphi .$