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PRINCIPE DE HUYGHENS

Or

$\int dz\left(\rho \mathrm {F} ''{\sqrt {1-z^{2}}}-{\frac {z\mathrm {F} '}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)={\sqrt {1-z^{2}}}\,\mathrm {F} '\left(z\rho +\mathrm {V} t\right)$

cette expression s’annule aux deux limites $-1$ et $+1.$

— Comme nous supposons le mouvement périodique, nous allons donner à la fonction arbitraire $\mathrm {F}$ une forme particulière.

$p$ ayant toujours la même signification et $\alpha$ étant égal à ${\frac {p}{\mathrm {V} }}={\frac {2\pi }{\lambda }},$ nous poserons :

$\mathrm {F} (z\rho +\mathrm {V} t)=\cos(\alpha z\rho +\alpha \mathrm {V} t)=\cos(\alpha z\rho +pt).$

Alors $\xi$ deviendra :

${\begin{aligned}\xi &=\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos(\alpha z\rho +pt)\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\\&=\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos \alpha z\rho \,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\cos pt-\int _{-1}^{+1}{\frac {\sin \alpha z\rho \,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\sin pt.\\\end{aligned}}$

La seconde intégrale est nulle, car la seconde fonction sous le signe $\textstyle \int$ est impaire, et les limites sont égales et de signe contraire.

Il reste donc

$\xi =\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos \alpha z\rho }{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\,\cos pt,$

d’où

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-p^{2}\xi .$