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PASSAGE DES ONDES PAR UNE LIGNE FOCALE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

l’onde sera cylindrique ; les surfaces d’onde seront des cylindres ayant $\mathrm {O} x$ pour axe.

Par un calcul facile on trouve

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\xi }{d\rho }}\right)$

ou

(1)

${\frac {\rho }{\mathrm {V} ^{2}}}\,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}-{\frac {d\xi }{d\rho }}=0.$

Je dis que

$\xi =\int _{-1}^{+1}{\frac {\mathrm {F} (z\rho +\mathrm {V} t)\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}$

est l’intégrale de cette équation.

L’intégrale générale devrait contenir deux fonctions arbitraires ; mais celle que nous avons donnée est la plus générale parmi les intégrales de l’équation qui restent finies pour $\rho =0.$ Vérifions que $\xi$ est bien une solution de l’équation (1) :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\int _{-1}^{+1}{\frac {\mathrm {V} ^{2}\mathrm {F} ''\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\\{\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}&=\int _{-1}^{+1}{\frac {z^{2}\mathrm {F} ''\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\\{\frac {d\xi }{d\rho }}\;&=\int _{-1}^{+1}{\frac {z\mathrm {F} '\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}.\\\end{aligned}}$

Substituons dans l’équation (1) ; il faut que

$\int _{-1}^{+1}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\left[\rho \mathrm {F} ''(1-z^{2})-z\mathrm {F} '\right]=0.$